Partial quotients that make Q(a1,...,an)=2↑e:
e=6: 
221221
1121221
122122
 
e=7:
21211112
21111212
111111212
111211112

e=8:
21122221
111122221
12222112

e=10:
1211111112121
1212111111121

e=12:
211122212122
221212221112
1121212221112
1111122212122

e=13:
12212111221221
12212211121221

e=14:
21112211222122
2211121211111221
22122211221112
112122211221112
11211121211111221
111112211222122
1221111121211122

e=15:
212111111121111212
212111121111111212
211112111121211112
211112121111211112
1111112121111211112
1111112111121211112
1112111121111111212
1112111111121111212

e=16:
211111222111121221
1111111222111121221
122121111222111112

e=17:
122221111121122221
122221121111122221

e=19:
2221111222122211221
22122122211211121121
112122122211211121121
11221111222122211221
1221122212221111222
12112111211222122122

e=20:
2122211112111111212122
2212121111112111122212
11212121111112111122212
11122211112111111212122

e=21:
2121221121111111111111122
2211111111111111211221212
11211111111111111211221212
11121221121111111111111122

e=22:
21211221111211111211121121
211121222111212221111112
21112211111112211222222
211111122212111222121112
2112211211111221111112221
22222211221111111221112
112222211221111111221112
11112211211111221111112221
1111111122212111222121112
111112211111112211222222
1111121222111212221111112
111211221111211111211121121
1222111111221111121122112
12112111211111211112211212

e=25:
21112221212111221212221112
21112221212211121212221112
22121222111111211122212122
22121222111211111122212122
112121222111211111122212122
112121222111111211122212122
111112221212211121212221112
111112221212111221212221112
12111122211121121111212211121
12111221211112112111222111121

e=26:
2222111112111111111122222122
2212222211111111112111112222
11212222211111111112111112222
11222111112111111111122222122

e=27:
22221122212111111111211221221
222212122112111211112112111121
1122212122112111211112112111121
112221122212111111111211221221
12212211211111111121222112222
121111211211112111211221212222
e=28:
21211111121212112211122112111112
21111121122111221121212111111212
22112222111111122111111111211221
112112222111111122111111111211221
111111121122111221121212111111212
111211111121212112211122112111112
12211211111111122111111122221122

e=29:
211122112221211122122211221112
211122112221221112122211221112
21121112111122111112122211212221
221222112211111121112211222122
221222112211121111112211222122
1121222112211121111112211222122
1121222112211111121112211222122
111121112111122111112122211212221
1111122112221221112122211221112
1221111121211121112211121211111221
1221111121211122111211121211111221
12221211222121111122111121112112

e=30:
21211121212112111111112112111211122
211121112111221121111211112111211121
2111111122122112111121112212112112
2112112122111211112112212211111112
22111211121121111111121121212111212
112111211121121111111121121212111212
11112112122111211112112212211111112
11111111122122112111121112212112112
1111121112111221121111211112111211121
111211121212112111111112112111211122
121112111211112111121122111211121112

e=31:
212111211111122212112211211212222
21211111112111121111212111121111111212
21211111112111121211112111121111111212
21211112111111121111212111111121111212
21211112111111121211112111111121111212
21111211112121111111211112121111211112
21111211112121111211111112121111211112
21111212111121111111211112111121211112
21111212111121111211111112111121211112
222122121211122212121122222221
222212112112211212221111112111212
1122212112112211212221111112111212
1122122121211122212121122222221
111111212111121111211111112111121211112
111111211112121111211111112121111211112
111211112111111121211112111111121111212
111211112111111121111212111111121111212
111211111112111121211112111121111111212
111211111112111121111212111121111111212
1112111211111122212112211211212222
122222221121212221112121221222
121211111212122122122221112212121
121212211122221221221212111112121

e=32:
21221212121111221111112121222112121
222111221111112121111111111221122122
221221122111111111121211111122111222
1121221122111111111121211111122111222
1122111221111112121111111111221122122
111221212121111221111112121222112121
121111211121212112111112212221221121
12121122212121111112211112121212212

e=33:
12212111122211111111211111222111121221

e=34:
212111111111212221122112122122222121
121222221221211221122212111111111212

e=35:
2111222212211111221121222112211111122
21111122211111112111122222222111121221
11211111122112221211221111122122221112
111111122211111112111122222222111121221